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Umkreismittelpunkt mit Flopps Toller Karte ermitteln

April 7th, 2014 | Posted by Sebastian in Geocaching | Tools & Online-Services

Vor nicht allzu langer Zeit bin ich von einem befreundeten Geocacher angefragt worden, wie man denn einen Punkt ermitteln kann, der von drei gebenen Punkten exakt gleich weit weg ist. Geometrisch betrachtet ist dies das Problem des Umkreismittelpunktes.

Geometrische Lösung

In diesem speziellen Fall bedeutet es, dass der Umkreismittelpunkt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks aus unseren Drei Punkten ist. Betrachten wir nun das folgende fiktive Beispiel, bei dem wir den Punkt suchen, der von den drei Gipfeln (Munzenberg (A), Hohe Stückbäume (B) und Köpfle (C)) gleich weit weg ist. Bei den drei Gipfeln handelt es sich um zufällig ausgewählte Punkte in der Nähe meines Wohnortes.

Da wir das Problem bequem zu Hause auf der Couch angehen können, wollen wir Flopps Tolle Karte dafür nutzen.

Bild mit den drei Gipfeln

Ausgangslage

Als erstes habe ich die drei Gipfel als Marker eingegeben und der Übersicht halber benannt. Im folgeden werden nur noch die Buchstaben A, B und C benutzt.

Zur Konstruktion der Mittelsenkrechten müssen nun mindestens zwei der drei Verbindungslinien der Punkte A, B und C gezeichnet werden. Das folgende Bild zeigt die Strecken A-B und B-C. Diese entsprechen den Seiten eines Dreiecks, von denen aus jetzt die Mittelsenkrechten gezeichnet werden müssen.

Eingezeichnete Verbindungsstrecken

Drei Gipfel mit den Strecken A-B und B-C

Die Mittelsenkrechten sind besondere Punkte der ebenen Geometrie. Zum Zeitpunkt als dieser Artikel entstand, bot Flopps Tolle Karte noch keine Funktion für die Erstellung der Mittelsenkrechten. Aber, die erzeugten Linien verraten uns ihre Länge und den Azimut. Am Beispiel der Strecke A-B heißt dies konkret: Länge 2844 Meter und Azimut 31,5°. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten lässt sich somit einfach projizieren (grüne Schaltfläche mit dem Pfeil im Punktemenü, halbe Strecke und gleicher Winkel eingeben).

Fusspunkte der Mittelsenkrechen

Fusspunkte der Mittelsenkrechten

Ausgehend von den Fusspunkten der Mittelsenkrechten D und E, werden jetzt die beiden Mittelsenkrechten projiziert. Zum Azimut der Strecke A-B müssen jetzt 90° addiert werden. Als Streckenlänge habe ich der Übersichtlichkeit wegen, eine Distanz von 4000 Meter gewählt. Die neuen Punkte F und G werden jetzt mit den Fusspunkten verbunden. Wir erhalten die Mittelsenkrechten D-F und E-G.

Umkreismittelpunkt H mit Radius

Umkreismittelpunkt H mit Radius

Den Schnittpunkt kann man nun per Hand absetzten und die Koordinaten ablesen. Als Kontrolle ob man alles richtig gemacht hat, wird nun entweder die dritte Mittelsenkrechte konstruiert, oder der Umkreis um den Punkt H wie im obigen Bild dargestellt gezeichnet.

Das gesamte Beispiel ist hier verfügbar.

Lösung auf dem GPS-Handgerät

Selbstverständlich funktioniert diese Lösung auch auf dem GPS-Handgerät. Die Stichworte sind Wegpunktprojektion und Routen.

Lösung mittels grafischer Software

Auch mit gängigen CAD- und GIS-Programmen kann die Lösung des Umkreismittelpunktes erfolgen. Je nachdem müssen allerdings die Koordinaten in ein anderes Koordinatensystem (bspw. UTM) umgeformt werden, da die Eingabe von Dezimalgrad sonst zu einem falschen Ergebnis führt.

Sonstige Lösungsansätze

Weitere Lösungsansätze dürfen gerne per Kommentarfunktion ergänzt werden.

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8 Responses

  • flopp says:

    Sehr schöne Anleitung!

    „Zum Zeitpunkt als dieser Artikel entstand, bot Flopps Tolle Karte noch keine Funktion für die Erstellung der Mittelsenkrechten.“ interpretiere ich mal als Wink mit dem Zaunpfahl 😉

    Grüße
    Flopp

  • Pingback: Best Of | Flopps Tolles Blog

  • marsipulami0815 says:

    Hi, interessanter Artikel. Das ganze geht (mit UTM Koordinaten auch sehr schön mit dem Programm GeoGebra, allerdings ohne darunterliegende Karte. Wenn die Abstände nicht zu groß werden (<4000m), dann sollte das auch mit Dezimalgrad hinreichend genau sein.

    VG

  • Attila_G says:

    Genau vor diesem Problem stand ich letzte Woche ebenfalls. Allerdings habe ich dann eine einfachere Lösung präsentiert bekommen: Jeweils die drei Nord- und die drei Ost-Koordinaten in einem brauchbaren Format (bei mir war es Swissgrid) zusammenzählen und dann durch 3 teilen. 🙂

    — Attila

    • Sebastian says:

      Ein Schelm wer dabei böses denkt. Wenn der Geochecker grün sagt, hast Du einen Sonderfall erwischt, bei dem der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt identisch oder sehr nahe beieinander liegen. Die Präsentation dieser Lösung ist falsch, führte aber näherungsweise auch zur Büchse.

      Siehe hierzu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Ausgezeichnete_Punkte_im_Dreieck

      Grüssle

      • Attila_G says:

        Hallo Sebastian

        Danke für die Info. Dann war es offenbar entweder wirklich Zufall oder der Owner hat es auch so ausgelegt. Ich hatte den Tipp auch von diesem erhalten. Nun werde ich aber die Koords mal nach der oben beschriebenen Methode nachrechnen. 🙂

        — Attila

    • Attila_G says:

      Sorry, ich muss mich hier selber korrigieren! Als ich die Aufgabenstellung nochmals kontrolliert habe, musste ich feststellen, dass ich den Umkreismittelpunkt mit dem geographischen Mittelpunkt verwechselt habe.
      Meine Aussage von oben ist darum natürlich schlichtwegs falsch.

      — Attila

  • mkmfz says:

    Ich verwende für derartige Konstruktionsaufgaben gerne Geogebra, damit lassen sich Aufgaben im UTM Raster metergenau lösen.
    Für GPS Handgerät noch ein Tipp: auf Garmin für Kreise die Annäherungsalarme verwenden.



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